题目

如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝AD，BC＝7cm，点P，Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→D运动，到点D停止，点Q以3cm/s的速度沿B→C→D运动，到点D停止．设点P的运动时间为t（s），△PBQ的面积为S（cm2）．当点Q到达点C时，点P在AD上，此时S＝14（cm2）． （1） 求CD的长； （2） 求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 答案： 解：∵当点Q到达点C时，点P在AD上，此时S=14(cm2)，∴12AB⋅BC=14，即12×7AB=14，解得AB=4(cm)，如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠A=∠B=90°，AB=AD，∴四边形ABED是正方形，∴DE=BE=AB=4cm，∴CE=BC−BE=7−4=3(cm)，在Rt△CDE中，CD=DE2+CE2=5cm； 解：点P到达点A所需时间为AB2=2(s)，到达点D所需时间为AB+AD2=4(s)，点Q到达点C所需时间为BC3=73(s)，到达点D所需时间BC+CD3=4(s)，①当0≤t≤2时，点P在AB上（含端点），点Q在BC上，如图所示：则BP=2tcm，BQ=3tcm，所以S=12BP⋅BQ=3t2；②当2<t≤73时，点P在AD上，点Q在BC上（含端点），如图所示：则BQ=3tcm，△PBQ的BQ边上的高等于AB长，即为4cm，所以S=12×4×3t=6t；③当73<t≤4时，点P在AD上（含端点），点Q在CD上（含端点），如图所示：则AP=(2t−4)cm，CQ=(3t−7)cm，∴DP=AD−AP=(8−2t)cm，过点Q作BC的垂线，交BC于点M，交AD延长线于点N，∴四边形ABMN是矩形，∴MN=AB=4cm，由（1）可知，sinC=45，在Rt△CMQ中，sinC=MQCQ，即MQ3t−7=45，解得MQ=125t−285，∴NQ=MN−MQ=−125t+485，则S=S梯形ABCD−S△ABP−S△BCQ−S△DPQ，=(4+7)×42−12×4(2t−4)−12×7(125t−285)−12(8−2t)(−125t+485)，=−125t2+345t+565；综上，S={3t2(0≤t≤2)6t(2<t≤73)−125t2+345t+565(73<t≤4)．

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