题目

如图，在 中，点A、B、C在 上，射线 交 于点H，弧 弧 ． （1） 求证 ； （2） 如图，延长 交 于点D，E为 上一点，且弧 弧 ，点F在 上， 于点G， 于点K，若 ，求证： ； （3） 在（2）的条件下，连接 并延长交 于点W，若 ， ， ，求 的长． 答案： 证明∶连接OB，OC，  ∵弧AB=弧AC， ∴∠AOB=∠AOC， ∴∠BOH=∠COH， 又 ∵OB=OC ， ∴BH=HC； 证明：连接AC， ∵弧CE=弧CD． ∴∠CAD=∠CAE， ∵CK⊥AK， ∴CH=CK， ∵CH=12BC， FG=BC ， ∴CK=12BC=12FG ； 解：作CN⊥AC交AE延长线于点N，设AC交BE于点T， 设∠CAK=∠CAH= α ， ∵弧AB=弧AC ， ∴弧BD=弧CD，AH⊥BC， ∵弧 CE= 弧 CD ， ∴弧 CE= 弧 CD =弧BD， ∴∠BAD=∠CAD=∠CAK= α ， ∴∠ABH=90°- α ， ∵∠AEC+∠ABH=180°， ∴∠CEK=∠ABH=90°- α ， ∴∠ACE=∠CEK-∠CAK=90°-2 α ， ∵CK⊥AK， ∴∠ECK= α ， ∵AC⊥CN， ∴∠NCK= α ， ∴∠NCK=∠ECK，∠N=∠CEN=90°- α ， ∴CE=CN， ∵ AB=2CE ， ∴tan∠CAN= CNAC=CEAB=12 ，即tan α = 12 ， ∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=90°- α ，∠EBC=∠CAE= α ， ∴CT⊥BT， 设CT=2a，则BT=4a，BC=2 5 a，CH= 5 a， ∴AH=2 5 a， ∴AC=5a=AB， ∴AT=3a， ∴ BTAT=43 ， ∵∠BAT=∠BAH+∠CAH=2 α ， ∴tan2 α = BTAT=43 ， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA= α =∠CAE ∴CW∥AE， ∴∠CWG=∠WGE=90°， ∴CW⊥WG， 又FC=CG， ∴WG=FW=33， 设PG=3m，则AG=6m，则RG=8m， ∴AR=10m， 过点R作FP⊥AF于点P，则AP=2RP， ∴ PR2+(2PR)2=AR2 ，解得∶ PR=25m ， ∴ AP=45m ， ∵AG⊥FG， ∴∠FAG=∠FPR=90°， ∵∠AFG=∠RFP， ∴∠AGF∽△RPF， ∴ FRAF=PRAG ，即 FR(FR+8m)2+(6m)2=25m6m ， 解得：FR=25m或-5m（舍去）， ∴FR=25m， ∴FG= FR+RG=33m=66，解得：m=2 ， ∴AG=12，RG=16， ∴WR=17， ∵∠WRO=∠ARG， ∴ tan∠WRO=tan∠ARG=34 ∴ tan∠WRO=34=OWWR ， ∴ OW=514 ．

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