题目

如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为ts，四边形APQC的面积为ycm2 ． （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （2）①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围； ②当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？ （3）设PQ的长为xcm，试求y与x的函数关系式． 答案：解：（1）当t＝42-4或8-42时，△PBQ是直角三角形，理由如下： ∵BQ＝AP＝t， BP＝4－t， ∴①当∠PQB＝90°时，由BP=2BQ得：2t ＝4－t，解得：t＝42-4； ②当∠QPB＝90°时，由BQ=2BP得：24-t=t，解得：t＝8-42. ∴当t＝42-4或8-42时，△PBQ是直角三角形. （2）①过P作PH⊥BC，在Rt△PHB中，BP＝4－t，PH＝1224-t， ∴S△BPQ＝12·1224-t·t=1424t-t2， ∴y＝S△ABC－S△BPQ＝8－1424t-t2. 由题意可知：0≤t≤4. ②y＝8－1424t-t2＝142t-22+8-2， ∴当t＝2时，y取得最小值，最小值是8-2． （3）在Rt△PQH中，PH＝12（4－t），HQ＝12（4－t）－t， 由PQ2＝ PH2＋HQ2，则x2＝〔12（4－t）〕2＋〔12（4－t）－t〕2 化简得：x2＝（2＋2）t 2－4（2＋2）t＋16，∴ t2－4 t＝x2-162+2. 将t2－4t＝x2-162+2代入y＝8－1424t-t2，得y＝8＋24·x2-162+2=142+1x2+82+421．

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