题目

已知椭圆 的左，右焦点为 ，左，右顶点为 ，过点 的直线 分别交椭圆于点 . （1） 设动点 ，满足 ，求点 的轨迹方程； （2） 当 时，求 点的坐标； （3） 设 ，求证：直线 过 轴上的定点. 答案： 解：由题意知： F(2，0)，A(3，0) ，设 P(x，y) ，则(x−2)2+y2−(x−3)2−y2=4 ， 化简整理得： x=92 解：把 x1=2，x2=13 代人椭圆方程，分别求出： M(2，53)，N(13，−209) ，直线 AM：y=13(x+3)    ①直线 BN：y=56(x−3)   ②由 ①、②得： T(7，103) 解：由已知 T(9，m) ，直线 TA：y=m12(x+3) 与椭圆联立，得： M(−3(m2−80)m2+80，40m2+80)直线 TB：y=m6(x−3) 与椭圆联立，得： N(3(m2−20)m2+20，−20m2+20)直线 MN 的方程为：y+20m2+20=40m2+80+20m2+20−3(m2−80)m2+80−3(m2−20)m2+20(x−3(m2−20)m2+20)化简得 y+20m2+20=−10m2−40(x−3(m2−20)m2+20)令 y=0 ，解得 x=1 ，即直线 MN 过 x 轴上定点 (1，0)

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