题目

已知如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点(OA＜OB)，且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-18x+72=0的两根，点D为线段OB的中点，过点D作AB的垂线与线段AB相交于点C. （1） 求A、B两点的坐标； （2） 求过点C的反比例函数解析式； （3） 已知点P在直线AD上，在平面内是否存在点Q，使以A、O、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：由x2-18x+72=0，解得：x=6或12， ∴OA=6，OB=12， ∴A(6，0)，B(0，12)； 解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A(6，0)，B(0，12)代入得： {b=126k+b=0 ，解得 {k=−2b=12 ， ∴直线AB的解析式为：y=-2x+12， 延长CD，交x轴与点E， ∵DC⊥AB，D(0，6)， ∴∠AEC+∠OAB=∠OBA+∠OAB=90°， ∴∠AEC=∠OBA， ∵∠DOE=∠AOB，OD=OA=6， ∴∆DOE≅∆AOB（AAS）， ∴OE=OB=12， ∴E(-12，0)， 设直线DC的解析式为：y=kx+b， 把D(0，6)，E(-12，0)代入y=kx+b，得： {b=6−12k+b=0 ，解得： {b=6k=12 ， ∴直线DC的解析式为：y= 12 x+6， 由 {y=−2x+12y=12x+6 ，解得 {x=125y=365 ， ∴交点C坐标( 125 ， 365 )， ∴过点C的反比例函数的解析式为：y= 43225x ； 解：①当OA是菱形AP1OQ1的对角线时，易知P1(3，3)， ∵P1与Q1关于x轴对称， ∴Q1(3，-3)； ②当OA为菱形AP2Q2O的边时， ∵OA=AP2=P2Q2=6，∠OAD=45°， ∴P2(6-3 2 ，3 2 )，Q2(-3 2 ，3 2 )； ③当OA为菱形AP3Q3O的边时，同理可得Q3(3 2 ，-3 2 )； ④当OA为菱形A Q4P4O的边时，此时点P4与点D重合，菱形A Q4P4O变为正方形，Q4(6，6)， 综上所述，满足条件的点Q坐标为(3，-3)或( −32 ， 32 )或( 32 ， −32 )或(6，6).

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