题目

已知二次函数y＝x2+bx+c+1的图象与x轴交于点A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0），且x1＜x2 ， 与y轴的负半轴交于点C ． （1） 当b＝1时，求c的取值范围； （2） 如果以AB为直径的半圆恰好过点C ， 求c的值； （3） 在（2）的条件下，如果二次函数的对称轴l与x轴、直线BC、直线AC的延长线分别交于点D、E、F ， 且满足DE＝2EF ， 求二次函数的表达式． 答案： 解：已知二次函数y＝x2+bx+c+1的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），当b＝1时， 令x2+bx+c+1＝0，则△＝b2﹣4（c+1）＝1﹣4c﹣4＞0 ∴ c<34 ， 考虑点C在负半轴，则c+1＜0， ∴c＜﹣1． 当b＝1时，c的取值范围是c＜﹣1 解：∵C（0，c+1）， 令x2+bx+c+1＝0，解得点A（ −b−b2−4c−42 ，0），点B（ −b+b2−4c−42 ，0）， 如果以AB为直径的半圆恰好过点C，则由直径所对的圆周角为直角，得∠ACB＝90°，二次函数的对称轴l与x轴交于点D，则D（ −b2 ，0）， ∴CD＝ AB2 ，即 (b2)2+(−c−1)2=b2−4c−42 ，化简得c2+3c+2＝0， ∴c＝﹣2或c＝﹣1（舍）． 答：c的值为﹣2． 解：设EF＝k，DE＝2K， ∵DE∥OC， ∴△DEB～△OCB， ∴ DEOC=BDOB ， ∴ 2kOC=BDx2 ， ∵OC∥DF， ∴△AOC～△ADF ∴ OCDF=OADA ， ∴ OC3k=−x1DA ， ∵AD＝BD， ∴ x1=−23x2 又∵x1•x2＝﹣1， ∴ x2=62,x1=63 ， ∴ y=(x+63)(x−62)=x2−66x−1 ∴二次函数的表达式为： y=x2−66x−1

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