题目

如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG． （1） 求证：△AOG≌△ADG； （2） 求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由； （3） 当∠1=∠2时，求直线PE的解析式． 答案： 证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，∵ {AO=ADAG=AG ，∴△AOG≌△ADG（HL）； 解：PG=OG+BP．由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP，由（1）可知，∠1=∠DAG，又∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，所以，2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°，故∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°，∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP，∴PG=DG+DP=OG+BP； 解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，∴∠1=∠2=30°，在Rt△AOG中，AO=3，AG=2OG，AG2=AO2+OG2，∴OG= 3 ，则G点坐标为：（ 3 ，0），CG=3﹣ 3 ，在Rt△PCG中，PG=2CG=2（3﹣ 3 ），PC= PG2−CG2 =3 3 ﹣3，则P点坐标为：（3，3 3 ﹣3），设直线PE的解析式为y=kx+b，则 {3+b=03k+b=33−3 ，解得 {k=3b=−3 ，所以，直线PE的解析式为y= 3 x﹣3．

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