题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E分别在AC，BC上（点D与点A，C不重合），且∠DEC=∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′．当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q（点P与点Q不重合）时，设CD=x，PQ=y． （1） 求证：∠ADP=∠DEC； （2） 求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 答案： 证明：如图1中， ∵∠EDE′=∠C=90°，∴∠ADP+∠CDE=90°，∠CDE+∠DEC=90°，∴∠ADP=∠DEC． 解：如图1中， 当C′E′与AB相交于Q时，即 65 ＜x≤ 127 时，过P作MN∥DC′，设∠B=α∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，∴PM=PQ•cosα= 45 y，PN= 43 × 12 （3﹣x），∴ 23 （3﹣x）+ 45 y=x，∴y= 2512 x﹣ 52 ，当DC′交AB于Q时，即 127 ＜x＜3时，如图2中，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，∴PN=DM，∵DM= 12 （3﹣x），PN=PQ•sinα= 35 y，∴ 12 （3﹣x）= 35 y，∴y=﹣ 56 x+ 52 ．综上所述，y= {−56x+52(127<x<3)2512x−52(65<x≤127)

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