题目

如果某封闭图形内部存在一个点.过该点的水平直线和沿垂直线交该图形的四个点到每个点的距离相等，我们称该图形叫做中心等距图形、这个点叫做该图形的等距中心.如正方形就是中心等距图形，请根据该定义探究以下回题： （1） 请写出两个常见几何图形是中心等距图形； （2） 如图①，在平面直角坐标系中，点A（2，2），B（4，2），D（2，0），请判断四边形OABD是否为中心等距图形，若是，求出等距中心的坐标；若不是，请说明理由. （3） 如图②，在平面直角坐标系中，点A（1，1），函数y＝ （x≥0）的图象经过点A，点C在x轴上，过点C作x轴垂线交函数y＝ （x＞0）的图象于点B（B在A右侧），若以线段OA、OC、BC和曲线AB所构成的封闭图形是中心等距图形，求点C横坐标的范围. （4） 如图③，在平面直角坐标系中，点A（0，2）.B（4，2），C（4，0），若抛物线y＝（x﹣m）2及其内部与矩形OABC重叠部分所构成的图形是中心等距图形，请直接写出m的取值范围. 答案： 解：根据题设的定义知：圆和等腰直角三角形是中心等距图形； 解：如图①作点 A 、 D 作直线 AD ，取线段 AD 的中点 P 作 x 轴的平行线交 OA 、 BD 于点 E 、 F ， 则点 P(2,1) ，则点 E 、 F 的坐标分别为 (1,1) 、 (3,1) ， 由题意得： PA=PD=PE=PF ， 故四边形 OABD 是否为中心等距图形； 解：在封闭图形内部找一点 P ，过点 P 分别作 x 、 y 轴的平行线，分别交 OA 、 BC 于点 E 、 H ，交反比例函数、 x 轴于点 F 、 G ， 设： PE=PH=PF=PG ， A(1,1) ，则 k=1 ， 设点 H 坐标为 (m,b) ，则 E(b,b) ，点 C(m,0) ， PE=PH ，则点 P(m+b2 ， b) ， G(m+b2 ， 0) ，点 F(m+b2 ， 2m+b) ， 由 PG=PE 得： 2b=m+b2 ，解得： m=3b ， 点 E(b,b) ，则 0<b<3 ， 故： 0<m<9 ， 即 0<xC<9 ； 解：在封闭图形内部找一点 P ，过点 P 分别作 x 、 y 轴的平行线，分别交 AB 、 OC 于点 F 、 H ，交 y 轴、二次函数于点 E 、 G ， 设点 P(a,b) ，则 0<b<2 ， 由题意得： PE=PF=PG=PH ， 则点 E(0,b) ，点 G[2a ， (a−m)2] ，点 F(a,2) ，点 H[a ， (a−m)2] ， 点 P 是 FH 中点，则 b=2+(a−m)22 ①， 由 PG=PH 得： a=b−(a−m)2 ②， ①②联立并解得： a+b=2 ，即： a=2−b ， 将 a=2−b 代入①得： 2b=2+(b−2−m)2 ，而 0<b<2 ， 故： m<2 ， 当 m=1 时，也满足 PE=PF=PG=PH ， 故： 1≤m<2 .

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