题目

已知线段AB ， 过点A的射线l⊥AB ． 在射线l上截取线段AC＝AB ， 连接BC ， 点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE ， B的对应点为D ， N的对应点为E ． （1） 当点N与点M重合，且点P不是AB中点时， ①据题意在图中补全图形； ②证明：以A ， M ， E ， D为顶点的四边形是矩形． （2） 连接EM ． 若AB＝4，从下列3个条件中选择1个： ①BP＝1，②PN＝1，③BN＝ ， 当条件    ▲   （填入序号）满足时，一定有EM＝EA ， 并证明这个结论． 答案： 解：①补全图形如下： ②证明：如图，连接AE，AM． 由题意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，则AM⊥BC，AM＝ 12 BC， ∵旋转， ∴△DPE≌△BPN， ∴DE＝BN＝ 12 BC，∠EDP＝∠PBD． ∴∠EDB＝∠EDP+∠PDB＝∠PBD+∠PDB＝90°， ∴ED⊥BC， ∴ED∥AM，且ED＝AM， ∴四边形AMDE为平行四边形． 又∵AM⊥BC， ∴∠AMD＝90°， ∴四边形AMDE是矩形 ③；证明：与（1）②同理，此时仍有△DPE≌△BPN， ∴DE＝BN＝ 2 ，DE⊥BC， 取AM的中点F，连接FE，如图所示： ∵AB＝4，则AM＝4×sin45°＝2 2 ， ∴FM＝ 2 ． ∴ED∥FM，且ED＝FM， ∴四边形FMDE是平行四边形， 又FM⊥BC， ∴∠FMD＝90°， ∴四边形FMDE是矩形． ∴FE⊥AM，且FA＝FM＝ 2 ， ∴EA＝EM．

查看本题答案和解析