题目

如图，在平行四边形ABCD中，EF垂直平分对角线AC，分别与边AD，BC交于点F，E. （1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长. 答案：证明： ∵ 对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别与 AC 、 BC 、 AD 交于点 O 、 E 、 F ， ∴AF=CF ， AE=CE ， OA=OC ， ∴∠EAC=∠ECA ， ∠FAC=∠FCA ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ， ∴∠EAC=∠FCA ， ∴∠FAO=∠ECO ，在 ΔAOF 和 ΔCOE 中， {∠FAO=∠ECOOA=OC∠AOF=∠COE ， ∴ΔAOF≅ΔCOE(ASA) ， ∴AF=CE ， ∵AF=CF ， AE=CE ， ∴AE=EC=CF=AF ， ∴ 四边形 AECF 为菱形；解：过 C 作 CH⊥AD 于 H ，则 ∠CHD=∠CHF=90° ， ∵∠D=45° ， ∴ΔCDH 是等腰直角三角形， ∴CH=DH=22CD ， ∵CD=2 ， ∴CH=DH=1 ， ∵AD=3 ， ∴AH=2 ， ∵ 四边形 AECF 是菱形， ∴AF=CF ，设 AF=CF=x ，则 FH=2−x ，在 Rt△CHF 中，由勾股定理得： CF2=FH2+CH2 ， ∴x2=(2−x)2+12 ， ∴x=54 ， ∴AF=CF=54 ， ∴ 菱形 AECF 的周长 =54×4=5 .

数学试题推荐

数学试卷推荐