题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相交于点D，与AB交于点E，AD平分∠FAB，连接ED并延长交AC的延长线于点F. （1） 求证：BC为⊙O的切线. （2） 求证：AE=AF； （3） 若DE=3，sin∠BDE= ，求AC的长． 答案： 证明：连接OD.∵AD平分∠FAB∴∠CAD=∠DAB在⊙O中，OA=OD∠DAB=∠ODA∴∠CAD=∠ODA∴AC∥OD∴∠ODB=∠ACB=900∴OD⊥CB∴CB为⊙O的切线 证明∵ OD=OE，∴∠ODE=∠OED．∵直线BC为⊙O的切线， ∴OD⊥BC．∴∠ODB=90°．∵∠ACB=90°，∴OD∥AC ．∴∠ODE=∠F．∴∠OED=∠F．∴AE=AF． 解：∵AE是⊙O的直径 ∴∠ADE=90°．∵AE=AF，∴DF=DE=3.∵∠ACB=90°．∴∠DAF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°，∴∠DAF=∠CDF=∠BDE．在Rt△ADF中，DFAF=sin∠DAF=sin∠BDE=13 ，∴ AF=3DF=9 ．在Rt△CDF中，CFDF=sin∠CDF=sin∠BDE=13 ，∴ CF=13DF=1 ．∴AC=AF-CF=8.

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