题目

已知，直线AB∥CD ， 直线EF交AB ， CD于点E ， F ， 动点P为平面上一点（点P不在AB ， CD ， EF上），连接PE ， PF ． （1） 如图1，当动点P在直线AB ， CD之间，且位于直线EF右侧时， ①依题意补全图1； ②猜想∠EPF ， ∠PEB ， ∠PFD的数量关系，并证明． （2） 如图2，当动点P在直线AB上方时，直接写出∠EPF ， ∠PEB ， ∠PFD的数量关系． 答案： 解：①补全图形，确定点 P 位置，过点 P 作 AB 的平行线，如图所示； ②∠EPF=∠PEB+∠PFD． 证明：过点P作PM∥AB． ∵AB∥CD， ∴CD∥PM． ∴∠PEB=∠1，∠PFD=∠2； ∵ ∠EPF=∠1+∠2 ， ∴ ∠EPF=∠PEB+∠PFD 当点 P 在EF右侧时，如下图： ∵ 过点 P 的直线，平行于 AB ， ∴∠PMB=∠PFD ， ∵∠EPF=∠PMB−∠PEB ， ∴ ∠EPF=∠PFD−∠PEB ， 当点P在EF左侧时，如图， ∵ 过点 P 的直线，平行于 AB ， ∴∠PFD=∠PME ， ∵∠EPF=∠PEB−∠PME ， ∴∠EPF=∠PEB−∠PFD ．

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