题目

如图所示,质量m1=1kg的木板静止在倾角为θ=30°足够长的、固定的光滑斜面上,木板下端上表而与半径R= m的固定的光滑圆弧轨道相切圆弧轨道最高点B与圆心O等高.一质量m2=2kg、可视为质点的小滑块以v0=15m/s的初速度从长木板顶端沿木板滑下已知滑块与木板之间的动摩擦因数u= ,木板每次撞击圆弧轨道时都会立即停下而不反弹,最终滑未从木板上端滑出,取重力加速度g=10m/s2.求 （1） 滑块离开圆弧轨道B点后上升的最大高度; （2） 木板的最小长度; （3） 木板与圆弧轨道第二次碰撞时损失的机械能。 答案： 解：由滑块与木板之间的动摩擦因数 μ=33=tan300  可知，滑块在木板上匀速下滑，即滑块到达A点时速度大小依然为v0=15m/s，设滑块离开圆弧轨道B点后上升的最大高度为h，则由机械能守恒定律可得： 12m2v02=m2g(Rcosθ+h)   解得：h=9.75m 解：由机械能守恒定律可得滑块回到木板底端时速度大小为v0=15m/s， 滑上木板后，木板的加速的为a1，   由牛顿第二定律可知：μm2gcosθ－m1gsinθ=m1a1   滑块的加速度为a2，   由牛顿第二定律可知：μm2gcosθ+m2gsinθ=m2a2   设经过t1时间后两者共速，共同速度为v1，   由运动学公式可知：v1=v0－a2t1=a1t1   该过程中木板走过的位移： x1=v12t1   滑块走过的位移： x2=v0+v12t1 之后一起匀减速运动至最高点，若滑块最终未从木板上端滑出， 则木板的最小长度：L=x2－x1 联立解得：L=7.5m 解：滑块和木板一起匀减速运动至最高点，然后一起滑下，加速度均为a3， 由牛顿第二定律可知：(m1+m2)gsinθ=(m1+m2)a3   一起匀减速向上运动的位移： x3=v122a3 木板从最高点再次滑至A点时的速度为v2， 由运动学公式可知： x1+x3=v222a3 滑块第三次、第四次到达A点时的速度大小均为v2，第二次冲上木板，设又经过时间t2两者共速，共同速度为v3， 由运动学公式可知：v3=v2－a2t2=a1t2 该过程中木板走过的位移： x4=v32t2   一起匀减速向上运动的位移： x5=v322a3   设木板第二次滑至A点时的速度为v4，由运动学公式可知： x4+x5=v422a3 木板与圆弧轨道第二次碰撞时损失的机械能为 ΔE=12m1v42   联立各式得： ΔE=509J≈5.56J

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