题目

如图，将正方形纸片 折叠使点D落在射线 上的点E，将纸片展平，折痕交 边于点F，交 边于点G， 的对应边 所在的直线交直线 于点H，连接 ． （1） 若点E在 边上， ①求证： ． ②当 时，求 的值． （2） 若 ，求 的值（用含k的代数式表示）． 答案： ① 证明：∵ 将正方形纸片 ABCD 折叠使点D落在射线 BA 上的点E，将纸片展平，折痕交 AD 边于点F，交 BC 边于点G ， ∴∠A=∠ADC=∠FEC′=90°，EF=DF， ∴∠FED=∠FDE，∠FED+∠DEH=90°，∠AED+∠FDE=90°， ∴∠AED=∠DEH； ②解：∵∠BEH+∠BHE=90°，∠BEH+∠AEF=90°， ∴∠BHE=∠AEF； ∵ AEEB=23 ∴设AE=2a，BE=3a，AB=AD=5a 设AF=x，则DF=EF=5a-x 在Rt△AEF中 AE2+AF2=EF2即4a2+x2=（5a-x）2 解之：x=2110a ∴AF=2110a，EF=5a-2110a=2910a ∴sin∠BHE=sin∠AEF=AFEF=2110a2910a=2129. 解：∵∠A=∠B=90°，∠BHE=∠AEF ∴△AEF∽△BEH， ∴AEBH=AFBE ∵ AEEB=k=k1 设BE=1，则AE=k， ∴AB=k+1， 设AF=y，则DF=EF=k+1-y， 在Rt△AEF中 AE2+AF2=EF2即k2+y2=（k+1-y）2 解之：y=2k+12k+2 ∴AF=2k+12k+2 ∴kBH=2k+12k+21 解之：BH=2k2+2k2k+1， ∴CH=BC-BH=k+1-2k2+2k2k+1=k+12k+1， ∴ BHCH=2kk+12k+1k+12k+1=2k。

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