题目

如图，在平面直角坐标系中，常数b＜0，m＞0，点A、B的坐标分别为（ ，0）、（m，2m+b），正方形BCDE的顶点C、D分别在x轴的正半轴上． （1） 直接写出点D和点E的坐标（用含b、m的代数式表示）； （2） 求 的值； （3） 正方形BC′D′E′和正方形BCDE关于直线AB对称，点C′、D′、E′分别是点C、D、E的对称点，C′D′交y轴于点M，D′N⊥x轴，垂足为N，连接MN． ①若点N和点A关于y轴对称，求证：MN＝MD′； ②若 ，求 的值． 答案： 解：∵四边形BCDE是正方形 ∴∠ACB＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝90°，BC＝CD＝DE＝BE ∵A（ −b2 ，0），B（m，2m+b）， ∴OA＝，OC＝m，CD＝DE＝BE＝BC＝2m+b ∴OD＝OC+CD＝m+2m+b＝3m+b ∴D（3m+b，0），E（3m+b，2m+b） 解：∵AC＝OC﹣OA＝m﹣（ −b2 ）＝m+ b2 ∴ BCAC=2m+bm+b2=2 解：①连接AC'，∵正方形BC′D′E′和正方形BCDE关于直线AB对称∴AC'＝AC，∠AC'B＝∠ACB＝90°∵正方形BC'D'E'中，∠BC'D'＝90°∴∠AC'D'＝90°+90°＝180°，即点A、C'、D'在同一直线上∵点N和点A关于y轴对称，M在y轴上∴MN＝MA∴∠MNA＝∠MAN∵D'N⊥x轴∴∠D'NA＝∠D'NM+∠MNA＝90°∴∠ND'M+∠MAN＝90°∴∠ND'M＝∠D'NM∴MN＝MD′②∵ 1AD−AO−1AD+AO=14AO∴ AD+AO(AD−AO)(AD+AO)−AD−AO(AD+AO)(AD−AO)=14AO∴ AD+AO−(AD−AO)AD2−AO2=14AO∴ 2AOAD2−AO2=14AO∴AD2﹣AO2＝8AO2∴AD2＝9AO2∴AD＝3AO∵AD＝OD﹣OA＝3m+b﹣（ −b2 ）＝3m+ 3b2∴3m+ 3b2 ＝3（ −b2 ）解得：b＝﹣m∴ BCOC=2m+bm=2m−mm=1

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