题目

25．如图，已知AB∥CD，CN是∠BCE的平分线． （1） 若CM平分∠BCD，求∠MCN的度数； （2） 若CM在∠BCD的内部，且CM⊥CN于C，求证：CM平分∠BCD； （3） 在(2)的条件下，连结BM，BN，且BM⊥BN，∠MBN绕着B点旋转，∠BMC＋∠BNC是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围． 答案： ∵CN，CM分别平分∠BCE和∠BCD， ∴BCN＝ 12 ∠BCE，∠BCM＝ 12 ∠BCD， ∵∠BCE＋∠BCD＝180°， ∴∠MCN＝∠BCN＋∠BCM＝ 12 ∠BCE＋ 12 ∠BCD＝ 12 (∠BCE＋∠BCD)＝90°； ∵CM⊥CN，∴∠MCN＝90°，即∠BCN＋∠BCM＝90°， ∴2∠BCN＋2∠BCM＝180°， ∵CN是∠BCE的平分线，∴∠BCE＝2∠BCN， ∴∠BCE＋2∠BCM＝180°， 又∵∠BCE＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝2∠BCM， 又∵CM在∠BCD的内部，∴CM平分∠BCD； 如图，∠BMC＋∠BNC＝180°，延长AB至F，过N，M分别作NG∥AB，MH∥AB，则有NG∥AB∥MH∥CD， ∴∠BNG＝∠ABN，∠CNG＝∠ECN，∠BMH＝∠FBM，∠CMH＝∠DCM， ∵BM⊥BN，CM⊥CN，∴∠MBN＝∠MCN＝90°， ∵∠ABN＋∠MBN＋FBM＝180°，∠ECN＋∠MCN＋∠DCM＝180°， ∴∠ABN＋∠FBM＋∠ECN＋∠DCM＝180°， ∴∠BMC＋∠BNC＝∠BMH＋∠CMH＋∠BNG＋∠CNG＝∠ABN＋∠FBM＋∠ECN＋∠DCM＝180°， ∴∠BMC＋∠BNC＝180°不变.

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