题目

如图，在等边 ABC中，点D，E分别是边AC，AB上的点，且 ，BD交CE于点P. （1） 如图①，求证： ； （2） 点M是边BC的中点，连接PA，PM. 如图②，若点A，P，M三点共线，求证： . 答案： 证明：在等边 △ ABC中， ∵AB=AC=BC，∠A=∠ABC=∠ACB=60° ，且 AE=CD ， ∴△AEC≅△CDB(SAS) ∴∠ACE=∠CBD ∵∠BPC+∠DBC+∠BCP=180° ∴∠BPC+∠ACE+∠BCP=180° ∴∠BPC=180°−∠ACB=120° ； 证明：在等边 △ ABC中，点M是边BC的中点， ∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,AM⊥BC,∠BAP=∠CAP=12∠BAC=30° ∴PB=PC ∵∠BPC=120° ∴∠PBC=∠PCB=30° 在 Rt△PMC 中， PC=2PM,∠ACP=60°−30°=30°=∠CAP ∴AP=PC ∴AP=2PM .

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