题目

已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形. （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 答案：解：（1）由题意知，设，则的中点为， 因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）， 由，解得，所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，设，，因为，则，由得，故， 故直线的斜率为，因为直线和直线平行， 故可设直线的方程为， 代入抛物线方程得， 由题意知，得. 设，则，， 当时，， 可得直线的方程为， 由，整理可得， 所以直线恒过点， 当时，直线的方程为，过点， 所以直线恒过定点.

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