题目

已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和椭圆C2： =1，离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上． （Ⅰ）求椭圆C1的方程； （Ⅱ）设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数． 答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）利用离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C1的方程； （Ⅱ）分类讨论，AC：y﹣y0=k（x﹣x0）与椭圆C1联立，再表示出△AOC的面积，代入化简，即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题知，且即a2=4，b2=2， ∴椭圆C1的方程为；… （Ⅱ）当直线AC的斜率不存在时，必有，此时|AC|=2，… 当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k、点P（x0，y0），则AC：y﹣y0=k（x﹣x0） 与椭圆C1联立，得， 设A（x1，y1），C（x2，y2）， 则，即x0=﹣2ky0… 又，∴… = = 综上，无论P怎样变化，△AOC的面积为常数．… 【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定△AOC的面积，正确代入计算是难点．

查看本题答案和解析