题目

已知命题p：“∀x＞﹣1，a≤x+恒成立”；，命题q：“函数f（x）=x3+ax2+2ax+1在R上存在极大值和极小值”，若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数a的取值范围． 答案：a∈[0，1]∪（2，+∞）． 【解析】 试题分析：分别求出p，q为真时的a的范围，根据命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，得到p，q一真一假，从而求出a的范围即可． 解；关于命题p：“∀x＞﹣1，a≤x+恒成立”， 令g（x）=x+=x+1+﹣1≥1，当且仅当x=0时“=”成立， ∴a≤1； 关于命题q：“函数f（x）=x3+ax2+2ax+1在R上存在极大值和极小值”， 即f′（x）=x2+2ax+2a与x轴有2个交点， ∴△=4a2﹣8a＞0，解得：a＞2或a＜0， 若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题， 则p，q一真一假， p真q假时：，解得：0≤a≤1， p假q真时：，解得：a＞2， 综上，a∈[0，1]∪（2，+∞）． 考点：复合命题的真假．

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