题目

    已知函数 (1)求函数的极值； (2)设函数，其中k∈R，求函数在区间[1，]上的最大值． 答案：解　(1)f′(x)＝ln x＋1(x>0) 令f′(x)≥0，得ln x≥－1＝ln e－1，x≥； 令f′(x)≤0，得x∈. 所以f(x)的单调递增区间是， 单调递减区间是，   f(x)的极小值为f＝－. f(x)无极大值． (2)g(x)＝xln x－k(x－1)，则g′(x)＝ln x＋1－k， 由g′(x)＝0，得x＝ek－1， 所以，在区间(0，ek－1)上，g(x)为递减函数， 在区间(ek－1，＋∞)上，g(x)为递增函数． 当ek－1≤1，即k≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为递增函数， 所以，g(x)的最大值为g(e)＝e－ke＋k；   当1<ek－1<e，即1<k<2时， g(x)的最大值是g(1)或g(e)， 由g(1)＝g(e)，得k＝，   当1<k<时，g(e)＝e－ek＋k>0＝g(1)， g(x)最大值为g(e)＝e－ke＋k， 当≤k<2时，g(e)＝e－ek＋k<0＝g(1)， g(x)最大值为g(1)＝0；   当ek－1≥e，即k≥2时，在区间[1，e]上，g(x)为递减函数， 所以g(x)最大值为g(1)＝0.   综上，当k<时，g(x)最大值为e－ke＋k； 当k≥时，g(x)的最大值为0.  

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