题目

已知数列{an}的首项a1＝2，且对任意n∈N*，都有an＋1＝ban＋c，其中b，c是常数． ⑴若数列{an}是等差数列，且c＝2，求数列{an}的通项公式； ⑵若数列{an}是等比数列，且|b|＜1，当从数列{an}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使数列{an}的前n项和Sn＜成立的n的取值集合． 答案：解： (1) 当c＝2时，由已知得a1＝2，a2＝ba1＋2＝2b＋2，a3＝ba2＋2＝2b2＋2b＋2， 因为{an}是等差数列，所以a1，a2，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2a2， 即2＋(2b2＋2b＋2)＝2(2b＋2)，所以b2－b＝0，解得b＝0，或b＝1.(2分) 当b＝0时，an＝2，对n∈N*，an＋1－an＝0成立，所以数列{an}是等差数列， 当b＝1时，an＋1＝an＋2，对n∈N*，an＋1－an＝2成立，所以数列{an}是等差数列； 所以数列{an}的通项公式分别为an＝2或an＝2n.(4分) (2) 因为{an}是等比数列，所以a1，a2，a3成等比数列，所以a1a3＝a， 即2[b(2b＋c)＋c]＝(2b＋c)2，化简得2bc＋c2＝2c，所以c＝0或2b＋c＝2. 当2b＋c＝2时，a2＝ba1＋c＝2b＋c＝2，所以an＝2，不满足Sn＜. 当c＝0时，若b＝0，则与a1＝2矛盾，所以b≠0，因此an＝2bn－1.(8分) 则an＋1＝2bn，an＋2＝2bn＋1，因为an，an＋1，an＋2按某种顺序排列成等差数列， 所以有1＋b＝2b2，或1＋b2＝2b，或b＋b2＝2， 解之得b＝1或b＝－或b＝－2.(12分) 又因为|b|＜1，所以b＝－，所以Sn＝＝， 由Sn＜，得＜，即n＞， 因为n是正整数，所以n的取值集合为{2,4,6,8}．(16分)

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