题目

已知是椭圆与抛物线的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点． （1）求椭圆及抛物线的方程； （2）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值 答案：（Ⅰ）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，可求得，从而可得相同的焦点的坐标，结合，即可求得与，从而可得椭圆及抛物线的方程；（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，，当时，求出，当时，直线的方程为，结合韦达定理及弦长公式求得及，表示出，通过换元及二次函数思想即可求得四边形面积的最小值. 【详解】 （Ⅰ）抛物线：一点 ，即抛物线的方程为，   又在椭圆：上 ，结合知（负舍）， ， 椭圆的方程为，抛物线的方程为. （Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程， ①当时，，直线的方程，，故 ②当时，直线的方程为，由得. 由弦长公式知 . 同理可得. . 令，则，当时，， 综上所述：四边形面积的最小值为8.

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