题目

已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在 上是减函数，求实数的取值范围； （3）令，是否存在实数，当（是自然对数的底数）时，函数的最小值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 答案：1）；（2）；（3）. 【解析】试题分析：（1）欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． （2）先对函数进行求导，根据函数在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得的范围． （3）先假设存在，然后对函数进行求导，再对的值分情况讨论函数在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当=e2能够保证当时有最小值3． 试题解析： (1)当时， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为函数在上是减函数， 所以在[1,3]上恒成立. 令,有，得 故. （3）假设存在实数a，使有最小值3，       ①时，，所以在上单调递减， ，  （舍去） ②当时，在上恒成立， 所以在上单调递减， （舍去） ③当时，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增  所以，，满足条件 综上，存在实数，使得 时，有最小值3． 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．

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