题目

如图所示，二次函数的图像（记为抛物线）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为，，且． （1）若，，且过点，求该二次函数的表达式； （2）若关于x的一元二次方程的判别式．求证：当时，二次函数的图像与x轴没有交点． （3）若，点P的坐标为，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线交于点D，若，求的最小值． 答案：（1） ；（2）见解析；（3） 【解析】 （1）根据题意，把，，点，代入解析式，即可求出解析式； （2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论； （3）根据二次函数的性质，得到，结合根与系数的关系，得到，然后证明，得到，然后得到，利用二次根式的性质即可得到答案． 【详解】 解：（1）由题意得：， ∵函数过点， ∴， ∴， ∴． （2）由题意，一元二次方程的判别式． ∴， ∴， 在函数中， ∵， ∴， 即函数图象与x轴没有交点． （3）因为函数顶点在直线l上，则有， 即① ∵， ∴， 即， ∴， 由①得：② ∵， ∴ ∵， ∴， 则． ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 由②得：， ∴， ∴当时，． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识进行解题．

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