题目

（2019·四川中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分别在AB，AD上，且AE=DF，连接BF与DE，相交于点G，连接CG，与BD相交于点H，下列结论①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2FD，则BG=6GF,其中正确的有____________.（填序号） 答案：①②③ 【解析】 解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD． ∵AB=BD，∴AB=AD=BD， ∴△ABD为等边三角形． ∴∠A=∠BDF=60°． 又∵AE=DF，AD=BD， ∴△AED≌△DFB，故①正确； ②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD， 即∠BGD+∠BCD=180°， ∴点B、C、D、G四点共圆， ∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°． ∴∠BGC=∠DGC=60°． 如图，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，则CM=CN. ∴Rt△CBM≌Rt△CDN（HL）， ∴S 四边形BCDG=S 四边形CMGN，S 四边形CMGN=2S △CMG， ∵∠CGM=60°， ∴GM= CG，CM= CG， ∴S 四边形CMGN=2S △CMG=2××GM×CM=2××CG× CG= CG 2，故②正确；  ③如图，过点F作FP∥AE于P点． ∵AF=2FD， ∴FP：AE=DF：DA=1：3， ∵AE=DF，AB=AD， ∴BE=2AE， ∴FP：BE=1：6=FG：BG， 即BG=6GF，故③正确． 综上所述，正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】 此题综合考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理和四点共圆的知识，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面积转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．

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