题目

已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）过点A（2，2）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程． 答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可； （Ⅱ）求出函数的导数，计算切线的斜率，求出切线方程即可． 【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx﹣3， 依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0， 即，解得a=1，b=0． （Ⅱ）：∵f′（x）=3x2﹣3， 设切点坐标为（t，t3﹣3t）， 则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t）， ∵切线过点P（2，2），∴2﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t）， 化简得t3﹣3t2+4=0，∴t=﹣1或t=2， ∴切线的方程：y=2或9x﹣y﹣16=0．

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