题目

已知为⊙O的直径且长为，为⊙O上异于A，B的点，若与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形的顶角为120度，则；②若为正三角形，则；③若等腰三角形的对称轴经过点D，则；④无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上，其中正确结论的序号为_________． 答案：②③④ 【解析】 ①过点O作OE⊥AC，垂足为E， 求出∠CAD=30°，得到CD=AC，再说明OE=r，利用∠OCA≠∠COE，得到CE≠OE，即可判断；②过点A作AE⊥OC，垂足为E，证明四边形AECD为矩形，即可判断；③画出图形，证明四边形AOCD为矩形，即可判断；④过点C作CE⊥AO，垂足为E，证明△ADC≌△AEC，从而说明AC垂直平分DE，得到点D和点E关于AC对称，即可判断. 【详解】 解：①∵∠AOC=120°， ∴∠CAO=∠ACO=30°， ∵CD和圆O相切，AD⊥CD， ∴∠OCD=90°，AD∥CO， ∴∠ACD=60°，∠CAD=30°， ∴CD=AC，过点O作OE⊥AC，垂足为E， 则CE=AE=AC=CD， 而OE=OC=r，∠OCA≠∠COE， ∴CE≠OE， ∴CD≠r，故①错误； ②若△AOC为正三角形， ∠AOC=∠OAC=60°，AC=OC=OA=r， ∴∠OAE=30°， ∴OE=AO，AE=AO=r， 过点A作AE⊥OC，垂足为E， ∴四边形AECD为矩形， ∴CD=AE=r，故②正确； ③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图， ∴AD=CD，而∠ADC=90°， ∴∠DAC=∠DCA=45°，又∠OCD=90°， ∴∠ACO=∠CAO=45° ∴∠DAO=90°， ∴四边形AOCD为矩形， ∴CD=AO=r，故③正确； ④过点C作CE⊥AO，垂足为E，连接DE， ∵OC⊥CD，AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠CAD=∠ACO， ∵OC=OA， ∴∠OAC=∠ACO， ∴∠CAD=∠OAC， ∴CD=CE， 在△ADC和△AEC中， ∠ADC=∠AEC，CD=CE，AC=AC， ∴△ADC≌△AEC（HL）， ∴AD=AE， ∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称， 即点D一定落在直径上，故④正确. 故正确的序号为：②③④， 故答案为：②③④. 【点睛】 本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的性质，垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定理进行推导.

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