题目

在△ABC中，边AC=1，AB=2，角，过A作AP⊥BC于P，且，则λμ=　　　　　　． 答案：　． 【考点】向量的线性运算性质及几何意义． 【专题】计算题；平面向量及应用． 【分析】【方法一】根据AP⊥BC得出•=0，代入已知条件求出λ=μ①，再由C、P、B三点共线得λ+μ=1②；联立求出λ、μ的值； 【方法二】P建立坐标系，用坐标表示向量，求出点P的坐标，代入，求出λ、μ的值． 【解答】解：【方法一】画出图形，如图所示； ∵AP⊥BC，∴ •=0， 又， =﹣， ∴（λ+μ）•（﹣）=﹣λ+（λ﹣μ）•+μ =﹣4λ+（λ﹣μ）•2×1×cos+μ=0， 化简得λ=μ①； 又C、P、B三点共线，， ∴λ+μ=1②； 由①②解得， ∴λμ=×=； 【方法二】建立坐标系，如图所示； 设点P（x，y），则=（x，y）， ∵=（2，0），||=1，∠CAB=，∴ =（﹣，）； ∴=﹣=（﹣，）； 又∵⊥，∴﹣ x+y=0①； 与共线，∴（x﹣2）﹣（﹣y）=0②； 由①②组成方程组，解得x=，y=， ∴=（，）； 又∵， ∴（，）=λ（2，0）+μ（﹣，）=（2λ﹣μ，μ）， 即， 解得， ∴λμ=×=； 故答案为：．故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及向量垂直和共线的应用问题，是基础题目． 　

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