题目

如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A.B两点，A点的坐标为（m，4），B点的坐标为（3，2），连接OA.OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C．若OC＝CA， （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是直角三角形，求出所有可能的E点坐标． 答案：【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先求出OB的解析式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论． （3）分三种情形分别讨论求解即可解决问题； 【解答】解：（1）∵点B（3，2）在反比例函数y＝的图象上， ∴a＝3×2＝6， ∴反比例函数的表达式为y＝， ∵点A的纵坐标为4， ∵点A在反比例函数y＝图象上， ∴A（，4）， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6； （2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G， ∵B（3，2）， ∴直线OB的解析式为y＝x， ∴G（，1）， A（，4）， ∴AG＝4﹣1＝3， ∴S△AOB＝S△AOG+S△ABG＝×3×3＝． （3）如图2中，①当∠AOE1＝90°时，∵直线AC的解析式为y＝x， ∴直线OE1的小时为y＝﹣x， 当y＝2时，x＝﹣， ∴E1（﹣，2）． ②当∠OAE2＝90°时，可得直线OE2的解析式为y＝﹣x+， 当y＝2时，x＝， ∴E2（，2）． ③当∠OEA＝90°时，易知AC＝OC＝CE＝， ∵C（，2）， ∴可得E3（，2），E4（，2）， 综上所述，满足条件的点E坐标为（﹣，2）或（，2）或（，2）或（，2）． 【点评】此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定和性质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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