题目
如图,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(a≠0)的图象在第一象限交于A.B两点,A点的坐标为(m,4),B点的坐标为(3,2),连接OA.OB,过B作BD⊥y轴,垂足为D,交OA于C.若OC=CA, (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)求△AOB的面积; (3)在直线BD上是否存在一点E,使得△AOE是直角三角形,求出所有可能的E点坐标.
答案:【分析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式,进而确定出点A的坐标,再用待定系数法求出一次函数解析式; (2)先求出OB的解析式,进而求出AG,用三角形的面积公式即可得出结论. (3)分三种情形分别讨论求解即可解决问题; 【解答】解:(1)∵点B(3,2)在反比例函数y=的图象上, ∴a=3×2=6, ∴反比例函数的表达式为y=, ∵点A的纵坐标为4, ∵点A在反比例函数y=图象上, ∴A(,4), ∴, ∴, ∴一次函数的表达式为y=﹣x+6; (2)如图1,过点A作AF⊥x轴于F交OB于G, ∵B(3,2), ∴直线OB的解析式为y=x, ∴G(,1), A(,4), ∴AG=4﹣1=3, ∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=×3×3=. (3)如图2中,①当∠AOE1=90°时,∵直线AC的解析式为y=x, ∴直线OE1的小时为y=﹣x, 当y=2时,x=﹣, ∴E1(﹣,2). ②当∠OAE2=90°时,可得直线OE2的解析式为y=﹣x+, 当y=2时,x=, ∴E2(,2). ③当∠OEA=90°时,易知AC=OC=CE=, ∵C(,2), ∴可得E3(,2),E4(,2), 综上所述,满足条件的点E坐标为(﹣,2)或(,2)或(,2)或(,2). 【点评】此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法,三角形的面积公式,直角三角形的判定和性质,解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.