题目

如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）， ①若△DMN的边与BC平行，求t的值； ②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．　答案：【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM=AN；当DN∥BC时，AD=AN；得出方程，解方程即可； ②根据题意得出当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t﹣4；分别得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：设BD=2x，AD=3x，CD=4x，则AB=5x，在Rt△ACD中，AC==5x， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形；（2）解：S△ABC=×5x×4x=40cm2，而x＞0， ∴x=2cm，则BD=4cm，AD=6cm，CD=8cm，AC=10cm． ①当MN∥BC时，AM=AN，即10﹣t=t， ∴t=5；当DN∥BC时，AD=AN，得：t=6； ∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6． ②当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE=DM，则t﹣4=5， ∴t=9；如果ED=EM，则点M运动到点A， ∴t=10；如果MD=ME=t﹣4，则（t﹣4）2﹣（t﹣7）2=42， ∴t=；综上所述，符合要求的t值为9或10或．　

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