题目

已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知点是椭圆上一点，求以点为切点的椭圆的切线方程； （Ⅲ）设点是直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，直线是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由． 答案：（Ⅰ）设椭圆的方程为. 由题意得解得. 所以. 所以椭圆的方程为.…………3分 （Ⅱ）（1）如果，则切线的斜率存在， 设切线方程为，即 　　　与椭圆联立，消去整理得： 　　（*） 因为直线与椭圆相切，所以方程（*）中 △＝……5分 得　　　 ① 又因为点在椭圆上，所以代入① 得 所以…………6分 所以切线方程为，即…………7分 （2）如果坐标为，则切线方程为，满足…………8分 （3）如果坐标为，则切线方程为，满足…………9分 综上所述，切线方程为…………10分 （Ⅲ）法一：设， 则由（Ⅱ）可知，方程为 ① 方程为 ②…………12分 由①②解得，由，即 又的方程为，…………13分 令得，…………15分 所以恒过定点．…………16分 法二：设， 则由（Ⅱ）可知，方程为 　　　又点在上，所以…………12分 同理 所以的方程为…………13分 由，得 所以恒过定点．…………16分

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