题目

（1）（操作发现） 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接； ②在①中所画图形中，＝　　°． （2）（问题解决） 如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数． （3）（拓展延伸） 如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）． 答案：（1）①见解析，②45；（2）135°；（3） 【解析】 （1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可． ②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可． （2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题． （3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题． 【详解】 解：（1）①如图，△AB′C′即为所求． ②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形， ∴∠AB′B＝45°， 故答案为45． （2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H． ∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°， ∴∠B＝∠EAH， ∵AB＝AE， ∴△ABC≌△EAH（AAS）， ∴BC＝AH，EH＝AC， ∵BC＝CD， ∴CD＝AH， ∴DH＝AC＝EH， ∴∠EDH＝45°， ∴∠ADE＝135°． （3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC， ∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG， ∵∠BAD＝∠CAG， ∴∠BAC＝∠DAG， ∵AB＝AC，AD＝AG， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD， ∴△ABC∽△ADG， ∵AD＝kAB， ∴DG＝kBC＝2k， ∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC， ∴∠ADG+∠ADC＝90°， ∴∠GDC＝90°， ∴CG＝＝． ∴BD＝CG＝． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

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