题目

如图1，长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且，点P、Q分别是边AD、AB上的动点． （1）求BD的长； （2）①如图2，在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形？若能，请求出PA的长；若不能，请说明理由； ②如图3，在BC上取一点E，使EC=5，那么当△EPC为等腰三角形时，求出PA的长． 答案：【考点】四边形综合题． 【分析】（1）由条件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的长； （2）①由题可知只能有∠QPC为直角，当PQ=PC时，可证得Rt△PDC≌Rt△QAP，可求得AP的长；②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三种情况分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【解答】解： （1）如图1，连接BD， ∵， ∴AB=4，BC=6， 则在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD==2； （2）①能，AP=4，理由如下： 如图2，由图形可知∠PQC和∠PCQ不可能为直角，所以只有∠QPC=90°，则∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD， ∴∠QPA=∠PCD， 当PQ=PC时， 在Rt△APQ和Rt△DCP中 ∴△APQ≌△DCP（AAS）， ∴AP=CD=4， 故在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形，此时AP=4； ②当PC=EC=5时，在Rt△PCD中，CD=4，PC=EC=5，由勾股定理可求得PD=3，所以AP=AB﹣PD=3， 当PC=PE=5时，如图3，过P作PF⊥BC交BC于点F，则FC=EF=PD=EC=2.5，所以AP=AB﹣PD=6﹣2.5=3.5， 当PE=EC=5时，如图4，过E作EH⊥AD于点H，由可知AH=BE=1，在Rt△EHD中，EH=AB=4，EP=5，由勾股定理可得HP=3，所以AP=AH+PH=1+3=4， 综上可知当△EPC为等腰三角形时，求出PA的长为3、3.5或4． 　

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