题目

已知函数f（x）=+2x﹣lnx． （1）若a=﹣，判断函数f（x）的单调性； （2）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围； （3）当a=﹣时，关于x的方程f（x）=x﹣b在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围． 答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）求出导数，依题意f′（x）≤0在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立，对a讨论，则有a＜0，判别式不小于0，即可； （3）由题意设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b，求得导数，列表表示g（x）和g′（x）的关系，得到极小值和极大值， 又方程g（x）=0在上恰有两个不相等的实数根．则令g（1）≥0，g（2）＜0，g（4）≥0，解出它们即可，． 【解答】解：（1）f′（x）=，（x＞0）， ∵a=﹣时，由f′（x）=＞0， 得3x2﹣8x+4＜0，∴＜x＜2， 故f（x）在（，2）内递增，在（0，）和（2，+∞）内递减．       （2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），依题意f′（x）≤0在x＞0时恒成立， 即ax2+2x﹣1≤0在x＞0时恒成立， 则a≤=﹣1在x＞0时恒成立，即a≤﹣1， ∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1]； （3）由题意﹣x2+2x﹣lnx=x﹣b， 即x2﹣x+lnx﹣b=0， 设g（x）=x2﹣x+lnx﹣b， 则g′（x）=， 列表： x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，4） g′（x） + 0 ﹣ 0 + g（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ∴g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，又g（4）=2ln2﹣b﹣2 又方程g（x）=0在上恰有两个不相等的实数根． 则，得 ln2﹣2＜b≤﹣（注意﹣＜﹣1＜2ln2﹣2）， ∴b的取值范围为（ln2﹣2，﹣]．

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