题目

在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式． （2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示． ①求面积的最小值． ②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 答案：（1）；（2）①4；②点，或点， 【解析】 （1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解析式即可得到答案； （2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可． 【详解】 解：（1）设抛物线的解析式为， 在等腰中，垂直平分，且， ∴． ∴    ， 解得： ∴抛物线的解析式为 （2）①设直线l的解析式为，交点， 由， 可得， ∴，． ∴， ∴． ∴． ∴当时，取最小值4． ∴的最小值是4． ②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称， ∴，即 解得：，，， ∵，，（不合题意，舍去．） 当时，点，线段的中点为． ∴，  ． ∴直线l的表达式为：． 当时，点，线段的中点为． ∴，  ． ∴直线l的表达式为： 综上：点，或点，． 【点睛】 本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质，利用因式分解的方法解方程，掌握以上知识是解题的关键．

查看本题答案和解析