题目

已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值，f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为　   　． 　 答案：﹣e3　． 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）， 则函数的导数f′（x）=﹣x+b， 若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值， 则f′（x）=﹣x+b=0有解， 即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根， 则，得b＞2，（a＜0）， 由f′（x）=0得x1=，x2=， 分析易得f（x）的极小值点为x1， ∵b＞2，（a＜0）， ∴x1==∈（0，）， 则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a， 设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，）， f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0， ∵g′（x）=+x=＜0， ∴g（x）在（0，）上单调递减， 故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0， 得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3， 故a的最小值为是﹣e3， 故答案为：﹣e3． 　

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