题目

已知函数）在其定义域内有两个不同的极值点． （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）设两个极值点分别为，证明:． 答案：解：(Ⅰ)依题，函数的定义域为， 所以方程在有两个不同根. 即，方程在有两个不同根.………………1分 （解法一）转化为，函数与函数 的图像在上有两个不同交点，如图.                      ………………3分 可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为， 只须.                                              ………………4分 令切点，所以，又，所以， 解得，，于是，                                 ………………5分 所以.                                             ………………6分 （解法二）转化为，函数与函数的图像在上有两个不同交点. 又，即时，，时，，………………2分 所以在上单调增，在上单调减.从而……………3分 又有且只有一个零点是1，且在时，，在在时，， 所以的草图如下，         ………………5分 可见，要想函数与函数的 图像在上有两个不同交点， 只须.               ………………6分 （解法三）令，从而转化为函数有两个不同零点， 而（）                       ………………2分 若，可见在上恒成立，所以在单调增， 此时不可能有两个不同零点.                          ………………3分 若，在时，，在时，， 所以在上单调增，在上单调减， 从而………………4分 又因为在时，，在在时，，于是只须： ，即，所以.             ………………5分 综上所述，………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知分别是方程的两个根， 即，， 设，作差得，即.………………7分 原不等式等价于 ………………8分 令，则，………………9分 设，， ∴函数在上单调递增，………………10分 ∴， 即不等式成立，………………11分 故所证不等式成立．

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