题目

如图所示，三棱锥A­BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中 点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形． 求证：(1)DM∥平面APC； (2)平面ABC⊥平面APC. 答案：证明：(1)∵M为AB的中点，D为PB的中点， ∴DM∥AP. 又∵DM⃘平面APC，AP平面APC， ∴DM∥平面APC. (2)∵△PMB为正三角形，D为PB的中点， ∴DM⊥PB. 又∵DM∥AP， ∴AP⊥PB. 又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P， ∴AP⊥平面PBC. ∵BC平面PBC， ∴AP⊥BC. 又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A， ∴BC⊥平面APC. 又∵BC平面ABC， ∴平面ABC⊥平面APC.

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