题目

已知函数f(x)＝(x∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)已知函数y＝g(x)对任意x满足g(x)＝f(4－x)，证明当x＞2时，f(x)＞g(x). 答案：解析 (1)由f(x)＝得f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x＝2，则x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 增 极大值 减 所以f(x)在(－∞，2)内是增函数，在(2，＋∞)内是减函数． 函数f(x)在x＝2时取得极大值f(2)＝. (2)证明　因为g(x)＝f(4－x)，所以g(x)＝. 令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝－ 则F′(x)＝－＝. 当x＞2时，2－x＜0,2x－1＞3，从而e3－e2x－1＜0， 则函数F′(x)＞0，F(x)在(2，＋∞)是增函数． 所以F(x)＞F(2)＝－＝0，故当x＞2时，f(x)＞g(x)成立．

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