题目

已知函数f（x）=（x+m）lnx在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x﹣3平行． （1）求f（x）在区间[e，+∞）上的最小值； （2）若对任意x∈（0，1），都有f（x）+2﹣2x＜0成立，求实数a的取值范围． 答案：【分析】（1）求出f（x）的导数，得到f′（1）=2，求出m的值，从而求出f（x）递增，得到f（x）的最小值即可； （2）问题转化为lnx+2（1﹣x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立①，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可． 【解答】解：（1）由f′（x）=lnx+结合题意得： 函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=1+m=2， ∴m=1， ∵x∈[e，+∞）时，f′（x）=lnx+＞0， ∴函数f（x）在[e，+∞）递增， ∴f（x）min=f（e）=e+1； （2）对任意x∈（0，1），都有f（x）+2﹣2x＜0成立， 即lnx+2（1﹣x）＜0对任意x∈（0，1）恒成立①， 当x∈（0，1）知lnx＜0， a＜0时， lnx+2（1﹣x）＞0，不合题意， a＞0时，①⇔lnx+＜0对任意x∈（0，1）恒成立， 记h（x）=lnx+，则h′（x）=， 记g（x）=x2+2（1﹣2a）x+1，则方程g（x）=0的根的判别式△=4（1﹣2a）2﹣4=16a（a﹣1）， 若a≤1，则△≤0，g（x）≥0，在（0，1]上h′（x）≥0， ∴h（x）在（0，1]上递增，又h（1）=0， ∴对任意x∈（0，1），h（x）＜0恒成立， 若a＞1，△＞0，由g（0）=1＞0，g（1）=4（1﹣a）＜0知存在x0∈（0，1）使得g（x0）=0， 对任意x∈（x0，1），g（x）＜0，h′（x）＜0， ∴h（x）在（x0，1）递减，又h（1）=0， ∴x∈（x0，1）时，h（x）＞0不合题意， 综上，a∈（0，1]． 　

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