题目

在四棱锥  中，  平面  ，  ，底面  是梯形，  ，  ，  ． （Ⅰ）求证：平面  平面  ； （Ⅱ）设  为棱  上一点，  ，试确定  的值使得二面角  为  ．   答案：（1）解：∵  平面  ，  平面  ，  平面  ， ∴  ，  ，在梯形  中，过点作  作  于  ， 在  中，  ，又在  中，  ， ∴  ， ∵  ，  ，  ，  平面  ，  平面  ，∴  平面 ，∵  平面  ， ∴  ，∵  ，  平面  ，  平面  ，∴  平面  ， ∵  平面  ，∴平面  平面  ； （2）解： 过点 作 交  于点  ，过点  作  于点  ，连  ，由（1）可知  平面  ，∴  平面  ，∴  ， ∵ ，∴  平面  ，∴  ，∴  是二面角  的平面角， ∴  ，∵  ，∴  ，∵  ，∴  ， ∴  ，由（1）知  ，∴  ，又∵  ，∵  ，∴  ， ∴  ，∵  ，∴   ；法二：以  为原点，  ，  ，  所在直线为  ，  ，  轴建立空间直角坐标系(如图) 则  ，  ，  ，  ，令  ，则  ，  ，∵  ，∴  ， ∴  ，∵  平面  ，∴  是平面  的一个法向量， 设平面  的法向量为  ，则  ，即  即  ， 不妨令  ，得  ，∵二面角  为  ， ∴  ，解得  ， ∵  在棱  上，∴  ，故  为所求．

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