题目

如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE，将∠BDE绕点D顺时针旋转α度（0≤α≤83°），角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为ycm． 小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小涛的探究过程，请补充完整． （1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值： x/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 y/cm 　   　 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 　   　 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.44 8.87 请你通过计算，补全表格； （2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象． （3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：　   　． （4）解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是　   　cm．（保留两位小数）． 答案：【解析】（1）①当x＝BM＝0时， MN是三角形ABC的中位线，则MN＝AC＝3； ②x＝BM＝， 在△MBD中，BD＝4，BM＝， cos∠B＝＝cosβ，tanβ＝， 过点M作MH⊥BD于点H， 则BH＝BMcosβ＝，则MH＝， MD2＝HD2+MH2＝， 则BD2＝BM2+MD2， 故∠BMD＝90°， 则y＝MN＝MDtanβ＝（DBsinβ）tanβ＝； 故：答案为3，； （2）描点出如下图象， （3）从图象可以看出：0≤x≤1.65时，y随x增大而减小， 当1.65＜x≤4.10时，y随x增大而增大（数值是估值，不唯一）； （4）方法一： MN＝2BM，即y＝2x， 在上图中作直线y＝2x， 直线与曲线交点的横坐标1.33和4.00， 故答案为：1.33或4.00． 方法二： 如图3，DN与CA的延长线交于点H． 设BM＝x，MN＝2x EN＝3x﹣3，AN＝6﹣3x ∵∠NDB＝∠H+∠C（外角的性质） ∠NDB＝∠MDB+∠NDM ∴∠MDB+∠NDM＝∠H+∠C ∴∠MDB＝∠H，∠B＝∠C ∴△MDB∽△DHC ∴＝ ∴，CH＝，HA＝HC﹣AC＝﹣6 又∵△HAN∽△DEN ∴＝ ∴＝ 解得x1＝4，x2＝． 故答案为：1.33或4.00．

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