题目

已知椭圆的离心率是长轴长等于圆的直径，过点的直线与椭圆交于两点，与圆交于两点； （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线的斜率之和是定值，并求出该定值； （3）求的取值范围. 答案：【分析】（Ⅰ）根据椭圆的简单几何性质，求出a、b的值即可； （Ⅱ）当直线l的斜率存在时，求出直线RA、RB的斜率之和即可证明结论成立； （Ⅲ）讨论直线l的斜率是否存在，利用弦长公式以及转化法、基本不等式等求出|AB|•|MN|的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C长轴长等于圆R：x2+（y﹣2）2=4的直径， 所以2a=4，a=2；  …（1分） 由离心率为，得e2===， 所以==，得b2=2；…（2分） 所以椭圆C的方程为+=1；…（3分） （Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+1，与+=1联立， 消去y，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0； 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，…（5分） 由R（0，2），得 kRA+kRB=+ =+ =2k﹣（+） =2k﹣ =2k﹣=0．…（7分） 所以直线RA，RB的斜率之和等于零；…（8分） （Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，|AB|=2，|MN|=4，|AB|•|MN|=8；…（9分） 当直线l的斜率存在时， |AB|= =•|x1﹣x2| =• =• =•， |MN|=2=2，…（11分） 所以|AB|•|MN|=•×2 =4•； 因为直线l过点P（0，1），所以直线l与椭圆C和圆R均交于两点， 令1+2k2=t，则t≥1， 所以|AB|•|MN|=4•=4•＜8， 又y=4•在t≥1时单调递增， 所以|AB|•|MN|=4≥4， 当且仅当t=1，k=0等号成立；…（13分） 综上，|AB|•|MN|的取值范围是[4，8]．…（14分） 【点评】本题考查了圆锥曲线的综合应用问题，也考查了数形结合思想、方程思想的应用问题，考查了计算能力与分析问题、解决问题的能力，是综合性题目．

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