题目

已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若关于的方程没有实数解，求的取值范围。 （3）设，若函数的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 答案：（1）（2）。 （3） 【解析】 试题分析：（1）因为f（x）为偶函数所以f（-x）=f（x）代入求得k的值即可；（2）函数与直线没有交点即无解，即方程无解．令，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．推出g（x）为减函数得到g（x）＞0，所以让b≤0就无解；（3）函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，即联立两个函数解析式得到方程，方程只有一个解即可 试题解析：（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（﹣x）=f（x）， 即对于∀x∈R恒成立． 即恒成立 即（2k+1）x=0恒成立，而x不恒为零，所以． （2）由题意知方程log9（9x+1）=b无解． 令g（x）=log9（9x+1），则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点． 所以g（x）在（﹣∞，+∞）是单调增函数．且9x+1>1,log9（9x+1）>log91=0,所以g(x)>-1 所以b的取值范围是． （3）由题意知方程有且只有一个实数根． 令3x=t＞0，则关于t的方程（记为（*）） 有且只有一个正根． 若a=1，则，不合，舍去； 若a≠1，则方程（*）的两根异号或有两相等正根． 由或﹣3；但，不合，舍去；而； 方程（*）的两根异号⇔（a﹣1）•（﹣1）＜0，即﹣a+1＜0，解得：a＞1． 综上所述，实数a的取值范围{﹣3}∪（1，+∞）．

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