题目

如图1，正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点D出发沿DA向点A匀速运动，速度是1cm/s，同时，点Q从点A出发沿AB方向，向点B匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、CP、CQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2） （1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由 （2）设△PQC的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式； （3）如图2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使S△QCM：S△PCM=3：5？若存在，求出t值；若不存在，说明理由． 　 答案：【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=4， 由运动知，DP=t，AQ=2t， ∴AP=4﹣t，BQ=4﹣2t， （1）连接BD，如图1， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵PQ∥BD， ∴∠ABD=∠AQP，∠APQ=∠ADB， ∴∠APQ=∠AQP， ∴AQ=AP， ∴2t=4﹣t， ∴t=；[来源:] （2）S=S正方形ABCD﹣S△APQ﹣S△BCQ﹣S△CDP =AB2﹣AQ×AP﹣BQ×BC﹣DP×CD =16﹣×2t×（4﹣t）﹣×（4﹣2t）×4﹣t×4 =16+t2﹣4t﹣8+4t﹣2t =t2﹣2t+8（0＜t＜2）； （3）如图2， 过点C作CN⊥PQ于N， ∴S△MCQ=MQ×CN，S△MCP=MP×CN， ∵S△QCM：S△PCM=3：5， ∴=， ∴， 过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H， ∵点M是正方形ABCD的对角线AC上的一点， ∴MG=MH， ∴S△AMQ=AQ×MG，S△APM=AP×MH， ∴， ∴， ∴t=．

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