题目

已知：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10,点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F. （1）若点D是AB的中点， ①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）； ②如图2,连结EF，若EF∥AB,求线段EF的长; ③请写出求线段EF长度最小值的思路. （2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是_________. 答案：（1） ①…………………………………2分 ②如图,连结CD，FD ∵AC=6，BC=8，AB=10 图1   ∴AC2+BC2=AB2 ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90° ∴EF是⊙O的直径……………………………3分 ∵D是AB中点 ∴DA=DB=DC=5 ∴∠B=∠DCB， ∵EF∥AB 图2   ∴∠A=∠CEF ∵∠CDF=∠CEF ∴∠A=∠CDF ∵∠A+∠B=90° ∴∠CDF+∠DCB=90° ∴∠CFD=90° ∴CD是⊙O的直径 ∴EF=CD=5………………4分   ③由AC2+BC2=AB2可得∠ACB=90° , 所以，EF是⊙O的直径. 由于CD是⊙O的弦, 所以，有EF≥CD， 所以，当CD是⊙O的直径时，EF最小…………6分 图3     （2）  .………………………………………………8分

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