题目

已知，如图1，在△ABC中，∠A是锐角，AB=AC，点D，E分别在AC，AB上，BD与CE相交于点O，且∠DBC=∠ECB=∠A． （1）写出图1中与∠A相等的角，并加以证明： （2）判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由． 小刚通过观察度量，找到了∠A相等的角，并利用三角形外角的性质证明了结论的正确性；他又利用全等三角形的知识，得到了BE=CD． 小刚继续思考，提出新问题：如果AB≠AC，其他条件不变，那么上述结论是否仍然成立？小刚画出图2，通过分析得到猜想：当AB≠AC时，上述结论仍然成立，小组同学又通过讨论，形成了证明第（2）问结论的几种想法： 想法1：在OE上取一点F，使得OF=OD，故△OBF≌△OCD，欲证BE=CD，即证BE=BF． 想法2：在OD的延长线上取一点M，使得OM=OE，故△OBE≌△OCM，欲证BE=CD，即证CD=CM． 想法3：分别过点B，C作OE和OD的垂线段BP，CQ，可得△OBP≌△OCQ，欲证BE=CD，即证△BEP≌△CDQ． …… 请你参考上面的材料，解决下列问题： （1）直接写出图2中与∠A相等的一个角； （2）请你在图2中，帮助小刚证明BE=CD．（一种方法即可） 　 答案： 【解答】解：（1）与∠A相等是∠BOE或∠COD； （2）如图2，在OE上取一点F，使得OF=OD， ∵∠DBC=∠ECB=∠A， ∴OB=OC， ∵∠BOE=∠COD， ∴△OBF≌△OCD（SAS）． ∴BF=CD，∠OBF=∠OCD． ∵∠BFE=∠ECB+∠CBF =∠ECB+∠DBC+∠OBF =∠A+∠A+∠OBF =∠A+∠OBF， ∵∠BEC=∠A+∠OCD， =∠A+∠OBF， ∴∠BFE=∠BEC． ∴BE=BF． ∴BE=CD．  

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