题目

如图，巳知二次函数y =ax2+bx +c(a≠0)的图象与x轴交于A(1 ，0) ，B(4，0)两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点. （1）直接写出二次函数的解析式            ； （2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标； （3）过（2）中的点Q作QE // y轴，交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点.是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似?如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由. 答案：（1）抛物线解析式为，（2）点Q（2，-1），（3）存在，满足条件的点M有8个，M（，） 【解析】 （1）求出点C坐标，将A、B、C坐标代入抛物线，即可求解． （2）设出直线BC平移后的函数，令直线与抛物线函数相等，Δ等于零，求出Q坐标即可． （3）利用△OBC∽△EMN，得到两种情况∠MEN=∠OCB，∠MEN=∠OBC；利用 ，，得到M的横坐标的方程，解方程即可． 【详解】 （1）由题意知：直线经过B，C两点 ∴将x=0代入直线，解得y=2 ∴C（0，2） 由题意知：A(1 ，0) ，B(4，0)，C（0，2）代入抛物线， 可得 解得 ， ， ∴抛物线解析式为． （2）由题意知：设直线BC平移后的函数为 ∵直线BC平移后与抛物线有唯一公共点Q， ∴ 化简得 即 ∴直线BC平移后的函数为 令 解得， ∴点Q（2，-1）． （3）如图所示，过点M作MP⊥EN，设M点坐标为（m，n）． 由题意知：△OBC∽△EMN 分两种情况讨论： 第一种，∠MEN=∠OCB 在Rt△OBC中， ∵OC=2，OB=4 ∴ ∴ 又∵点Q（2，-1），QE⊥AB ∴点E（2，0） ∴ 代入抛物线可得 化简 如图所示，有4个交点 第二种，∠MEN=∠OBC 在△RtOBC中， ∵OC=2，OB=4 ∴ ∴ 又∵点Q（2，-1），QE⊥AB ∴点E（2，0） ∴ 代入抛物线可得 化简 如图所示，有4个交点 综上所述，有8个交点． 由上述可知M只要满足下列任意一个函数即可； ∴令（m>4）， 解得，（舍）． ∴M（，）． 【点睛】 本题主要考查了一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题，正确掌握一次函数平移与二次函数的综合问题，以及一次函数平移与二次函数的交点问题的解法是解题的关键．

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